Getallen: Rekenen met natuurlijke getallen

Wiskundetaal

optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen

opteltal, opteller, som, aftrektal, aftrekker, verschil, termen, vermeerderen, verminderen

vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product, deeltal, deler, quotiënt, rest, factoren, maaltafels, deeltafel, helft, dubbel, kwart, tienvoud

eenheid, tiental, honderdtal, duizendtal,…

splitsen, aanvullen, schakelen, wisselen

Eindtermen

1.3 De leerlingen kennen de betekenis van: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, veelvoud, deler, gemeenschappelijke deler, grootste gemeenschappelijke deler, kleinste gemeenschappelijk veelvoud, procent, som, verschil, product, quotiënt en rest. Zij kunnen correcte voorbeelden geven en kunnen verwoorden in welke situatie ze dit handig kunnen gebruiken.

1.6 De leerlingen kunnen volgende symbolen benoemen, noteren en hanteren: = ≠ < >+ – x . : / ÷ % en ( ) in bewerkingen.

1.13 De leerlingen voeren opgaven uit het hoofd uit waarbij ze een doelmatige oplossingsweg kiezen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen:
– optellen en aftrekken tot honderd
– optellen en aftrekken met grote getallen met eindnullen
– vermenigvuldigen met en delen naar analogie met de tafels

ET 1.14 De leerlingen kunnen op concrete wijze de volgende eigenschappen van bewerkingen verwoorden en toepassen: van plaats wisselen, schakelen, splitsen en verdelen.

ET 1.16 De leerlingen kunnen de uitkomst van een berekening bij benadering bepalen.

ET 1.24 De leerlingen kennen de cijferalgoritmen. Zij kunnen cijferend vier hoofdbewerkingen uitvoeren met natuurlijke en met kommagetallen:
– optellen met max. 5 getallen: de som < 10 000 000;
– aftrekken: aftrektal < 10 000 000 en max. 8 cijfers;
– vermenigvuldigen: vermenigvuldiger bestaat uit max. 3 cijfers; het product = max. 8 cijfers (2 cijfers na de komma);
– delen: deler bestaat uit max. 3 cijfers; quotiënt max. 2 cijfers na de komma.

ET 1.28 De leerlingen kunnen in contexten vaststellen welke wiskundige bewerkingen met betrekking tot getallen toepasselijk zijn en welke het meest aangewezen en economisch zijn.

Basis

  • Geef ‘kale’ oefeningen op de verschillende standaardmethodes en handige methodes. In de tabel hieronder vind je enkele veel gebruikte methodes waarop je kan oefenen. Beperk de getalgrootte of werk met eenvoudige getallen.
    • Combineer verschillende types in eenzelfde oefenmoment, combineer bij voorkeur zaken die leerlingen makkelijk door elkaar halen (bv. vermenigvuldiging en deling met grote getallen zoals de opgaven 200 x 40 en 200 : 40).
    • Bespreek de verschillende methodes die leerlingen bij eenzelfde oefening gebruikten, vergelijk ze in efficiëntie.
Optellen en aftrekken

Standaardmethode
345 + 280

Werken met dichtbije getallen
345 + 98

Schakelen
345 + 178 + 55
345 – 178 – 35

Aanvullend optellen
1000 – 345








Vermenigvuldigen en delen

Rekenen met nullen
340 x 20
340 : 20

Splitsen en verdelen
3 x 345
345 : 5 (deeltal splitsen)

Vermenigvuldiger of deler
schrijven als een product
4 x 345 = 2 x (2 x 345)
240 : 16 = (240 : 8) : 2

Werken met dichtbije getallen
9 x 134
196 : 4

Schakelen
20 x 234 x 5

Vermenigvuldigen met en delen door 5, 50
340 x 5
  • Geef ‘kale’ oefeningen op cijferen met natuurlijke getallen. In de tabel hieronder vind je enkele types waarop je kan oefenen.
Optellen en aftrekken

Optellen met 1 of meer keer onthouden
1 345 + 7 848

Aftrekken met 1 of meer keer lenen
7 564 – 1 883

Lenen bij 0 in aftrektal
2 406 – 868

Optellen van verschillende termen
345 + 768 + 936
Vermenigvuldigen en delen

Vermenigvuldigen met
een getal van 1 cijfer
3 x 456

Vermenigvuldigen met
een getal van 2 of meer cijfers
35 x 456

Delen, deler 1 of meer cijfers
(beperk bij deler groter dan 10 de complexiteit)
467 : 7

Delen, quotiënt bevat 0
3345 : 11
  • Geef oefeningen met gebruik van wiskundetaal bv. vermeerder 434 met 99, bv. bepaal het product van 34 en 20.

In de toepassingen hieronder wordt de methode (hoofdrekenen, cijferen of schattend rekenen) niet expliciet benoemd in de opgave. Bedoeling is dat leerlingen zelf oordelen welke methode ze best gebruiken, de keuze kan onderdeel zijn van de nabespreking.

Toepassingen

Jef Nys tekende stripfiguur Jommeke voor het eerst in 1955.

Hoe oud is Jommeke dus eigenlijk?

Bron afbeelding: https://www.vrt.be/vrtnws/nl/2020/01/17/jommeke-is-65-jaar-jong/

Pas de context aan, laat leerlingen bijvoorbeeld op basis van geboortedatum en sterfdatum uitrekenen hoe oud iemand geworden is, of laat berekenen hoe lang iets geleden is.

  • Ga in op de verschillende rekenwijzen. Het handigst is hier wellicht ‘aanvullend rekenen’ (45 jaar tot het jaar 2000, en dan verder tot het huidige jaartal).
  • Ter info: De afbeelding is uit een eerste strip in de krant (nog geen album) van Jommeke.

In onze klas zijn op dit moment 15 leerlingen 9 jaar oud, 7 leerlingen zijn 10 jaar oud en 2 leerlingen zijn 11 jaar oud. De juf is 46 jaar. Hoe oud zijn we samen?

Pas de gegevens aan de eigen klascontext aan.

  • Besteed aandacht aan het weergeven van de gegevens, plaats de gegevens eventueel in een tabel – in deze tabel zou je ook de berekeningen kunnen aanvullen, bijvoorbeeld:

  • Ga in op de manier waarop leerlingen de tussenuitkomsten overzichtelijk genoteerd hebben. Bekijk ook samen hoe de tussenresultaten handig kunnen samengenomen worden.
  • Geef vluggerds de extra vraag ‘Hoeveel eeuw zijn we samen?’

Ik woon op 16 km van de school. Hoeveel km leg ik in een gewone schoolweek af van en naar school?

Tip: Je kan dit vraagstuk met de afstand school-thuis van jezelf of van een aantal leerlingen laten doen.

  • Merk op: het eenvoudigste is hier om 16 x 10 te berekenen (in de plaats van 32 x 5).
  • Gebruik referentiematen om het resultaat te interpreteren. In het voorbeeld komt het op een afstand van 160 km, vergelijk dit met een afstand die leerlingen kennen.
  • Tip: je kan verder bouwen op deze opgave door deze afstand voor elke leerling te laten berekenen en dan te kijken hoeveel km je klas in totaal in een week aflegt voor het schoolverkeer.

Het eerste album van Suske en Wiske verscheen in 1945. Er zijn op dit moment al 394 strips van Suske en Wiske uitgegeven. Een album telt altijd 24 pagina’s. Hoeveel pagina’s tellen alle albums van Suske en Wiske samen?

Pas aan het huidige aantal albums van Suske en Wiske aan. Werk eventueel een analoog vraagstuk uit met een reeks die populair is in de klas.

  • Zeg vooraf niet of leerlingen moeten cijferen of hoofdrekenen, bespreek nadien de verschillende keuzes.
  • Geef snelle rekenaars de vraag hoe ze kunnen te weten komen hoe hoog de stapel van alle albums van Suske en Wiske samen zou zijn. Bespreek de werkwijze. Handig is om bv. te meten hoe hoog een stapel van 10 albums is (4 cm) en dan schattend te rekenen (40 x 4 cm = 160 cm = 1,6 m).

Dit bordje hangt in de lift. Welk gewicht neemt men hier ongeveer voor één persoon?

Pas de context aan als de school over een lift beschikt.

  • Laat leerlingen verwoorden waarom we hier schattend gaan rekenen (het antwoord wordt niet precies gevraagd; het is ook niet zinvol om het precies te weten want niet iedereen weegt evenveel).
  • Laat leerlingen verwoorden wat je goed moet kunnen om hier handig te rekenen (de tafels, zo zien we snel dat 640 wel deelbaar is door 8).

Volgens de verpakking zitten 160 velletjes op deze keukenrol. Eén vel heeft afmetingen 11 cm x 23 cm.

Als ik de rol helemaal uitrol, hoeveel meter keukenpapier heb ik dan?

  • Laat verwoorden wat de notatie ’11 cm x 23 cm’ betekent. Laat leerlingen aan de hand van een keukenrol en de afbeelding uitleggen waarom ze moeten rekenen met ’11 cm’ en niet met ’23 cm’.
  • Besteed aandacht aan de manier waarop leerlingen deze bewerking uitgerekend hebben en aan de correcte notatie van de oplossingswijze.
  • Laat het resultaat eventueel afronden tot op 1 meter.
  • Leg de link met referentiematen, kunnen leerlingen zich de afmeting 18 m voorstellen?

De tafeltennisclub verkoopt wafeltjes. Een doos van 700 gram wafeltjes kost 8 euro. De club verkocht wel 250 dozen! Hoeveel wafeltjes zitten er ongeveer in zo’n doos?

  • Laat leerlingen verwoorden waarom precies rekenen hier niet aan de orde is (niet elke wafel zal evenveel wegen, we rekenen dus met ongeveer 40 gram).
  • Laat de verschillende manieren waarop leerlingen dit berekend hebben aan bod komen. Je kan de hoofdrekenmethode ‘deeltal splitsen in deelbare delen’ hier in de verf zetten (700 splitsen we op in 400 en 300; 400 gedeeld door 40 is 10, in 300 gram gaan nog 7 of 8 wafels).
  • Laat verwoorden welke gegevens in het vraagstuk staan, en welke effectief nodig zijn voor het beantwoorden van de vraag.

Bekijk de affiche van ‘Vinnig Vlaanderen’.

De omtrek van de aarde is 40 000 km. Welk deel van de aardomtrek stapte oma al af?

Reken ongeveer!

  • Mogelijke oplossingsmethode:
    • Oma stapte 18 jaar.
    • Schatting van gestapte kilometers: 18 x 365 x 5 = 90 x 365; we  benaderen dit door 100 x 350 = 35 000
    • 35 000 / 40 000 = 7/8

De directeur stelt voor om vanaf nu de speeltijd in de voormiddag 1000 seconden te laten duren.

Zou je akkoord gaan met dit voorstel?

  • Laat verwoorden dat het moeilijk is om een idee te hebben van hoe lang 1000 seconden is, daarom zullen we herleiden naar minuten.
  • Besteed aandacht aan de manier waarop leerlingen dit berekend hebben.
    • Hebben ze exact gerekend of geschat? Een schatting volstaat hier om een idee te kunnen vormen – we willen vooral weten of het korter of langer is dan de speeltijd nu.
    • We moeten nagaan hoeveel keer 60 in 1000 gaat, bespreek hoe leerlingen dit aangepakt hebben (bv. via splitsen deeltal 1000 in getallen die deelbaar zijn door 60). Zo zien we via de splitsing 1000 = 600 + 360 + 40 dat het om een tijdspanne tussen 16 en 17 minuten gaat.
  • Laat leerlingen verwoorden welke zaken ze moesten weten/kunnen om deze opgave te maken (aantal seconden in een minuut, vlot hoofdrekenen, tafels kennen).
  • Tip: pas de opgave eventueel aan door enkel te vragen hoeveel minuten 1000 seconden is, daag sterke rekenaars uit door te vragen wat in deze tijdspanne mogelijk is, welke afstand ze bv. kunnen wandelen in die tijd.

Deze verpakking bevat 3 kg waspoeder. Volgens de doos is dit genoeg voor 40 wasbeurten. Hoeveel waspoeder rekent men hier gemiddeld per beurt?

Tip: pas de opgave aan met een meegebrachte doos of fles wasmiddel. Op de verpakking staat geregeld ook het verbruik per beurt aangegeven, hiermee kan je dan laten controleren.

  • Laat verwoorden dat je eerst moet herleiden om makkelijk te rekenen. Laat leerlingen de gebruikte rekenmethodes verwoorden en vergelijken (bv. 3 kg = 3000 gram; 3000 : 40 = 300 : 4 = 150 : 2 = 75).
  • Vergelijk het resultaat met gekende referentiematen, laat eventueel eens 75 gram waspoeder afmeten.

Wout is fan van de boeken van ‘De grijze jager’.

Hij begon vandaag een nieuw boek en las al een flink stuk.

Het boek telt 285 bladzijden.

Hoeveel bladzijden heeft Wout ongeveer gelezen vandaag?

Tip: Werk in de plaats van met een foto met een boek uit de klasbib, geef het boek door met een bladwijzer erin.

  • Besteed aandacht aan de oplossingsmethode: je kan best eerst schatten welk deel van het boek al gelezen is (ongeveer ¼), daarna schatten de leerlingen ‘1/4 van 285’ door het aantal pagina’s zinvol af te ronden (bv. naar 280 of naar 300).
  • Wellicht hebben sommige leerlingen precies gerekend, laat verwoorden waarom dit hier niet zinvol is.
  • Bespreek de verschillende schattingen.

Hoeveel biljetten van 200 euro moet je bezitten om 1 miljoen euro te hebben?

  • Bespreek met de leerlingen hoe ze stapsgewijs kunnen werken (bv. 5 biljetten is 1000 euro, dus 5000 biljetten is 1 miljoen euro).
  • Overloop met de leerlingen welke biljetten bestaan. Vroeger werd ook het biljet van 500 euro uitgegeven, maar dit verdween omdat het weinig gebruikt werd en om criminele praktijken te verhinderen.