Getallen: Rekenen met kommagetallen

Wiskundetaal

Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen

Opteltal, opteller, som, aftrektal, aftrekker, verschil, termen, vermeerderen, verminderen

vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product, deeltal, deler, quotiënt, rest, factoren, maaltafels, deeltafel, helft, dubbel, kwart, tienvoud gehelen, tiende, honderdste, duizendste

Eindtermen

1.3 De leerlingen kennen de betekenis van: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, veelvoud, deler, gemeenschappelijke deler, grootste gemeenschappelijke deler, kleinste gemeenschappelijk veelvoud, procent, som, verschil, product, quotiënt en rest. Zij kunnen correcte voorbeelden geven en kunnen verwoorden in welke situatie ze dit handig kunnen gebruiken.

1.6 De leerlingen kunnen volgende symbolen benoemen, noteren en hanteren: = ≠ < >+ – x . : / ÷ % en ( ) in bewerkingen.

1.13 De leerlingen voeren opgaven uit het hoofd uit waarbij ze een doelmatige oplossingsweg kiezen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen:
– optellen en aftrekken tot honderd
– optellen en aftrekken met grote getallen met eindnullen
– vermenigvuldigen met en delen naar analogie met de tafels

ET 1.14 De leerlingen kunnen op concrete wijze de volgende eigenschappen van bewerkingen verwoorden en toepassen: van plaats wisselen, schakelen, splitsen en verdelen.

ET 1.16 De leerlingen kunnen de uitkomst van een berekening bij benadering bepalen.

ET 1.24 De leerlingen kennen de cijferalgoritmen. Zij kunnen cijferend vier hoofdbewerkingen uitvoeren met natuurlijke en met kommagetallen:
– optellen met max. 5 getallen: de som < 10 000 000;
– aftrekken: aftrektal < 10 000 000 en max. 8 cijfers;
– vermenigvuldigen: vermenigvuldiger bestaat uit max. 3 cijfers; het product = max. 8 cijfers (2 cijfers na de komma);
– delen: deler bestaat uit max. 3 cijfers; quotiënt max. 2 cijfers na de komma.

ET 1.28 De leerlingen kunnen in contexten vaststellen welke wiskundige bewerkingen met betrekking tot getallen toepasselijk zijn en welke het meest aangewezen en economisch zijn.

Basis

  • Geef ‘kale’ oefeningen op hoofdrekenen met kommagetallen, zorg voor een mix aan types en methodes.
    • Combineer verschillende types in eenzelfde oefenmoment, combineer bij voorkeur zaken die leerlingen makkelijk door elkaar halen (bv. vermenigvuldigen en delen met kommagetallen zoals in de opgaven 0,4 x 0,2 en 0,4 : 0,2)
    • Bespreek de verschillende methodes die leerlingen bij eenzelfde oefening gebruiken, vergelijk ze in efficiëntie.
Optellen en aftrekken
 
kommagetal + natuurlijk getal
3,35 + 2 = …
 
natuurlijk getal + kommagetal
5 + 3,35 = …
 
geen overschrijding van de E
3,35 + 0,6 = …
3,3 + 1,6 = …
3,3 – 0,2 = …
3,35 – 1,22 = …
3,3 – 1,25 = …
 
met overschrijding van de E
3,3 + 0,8 = …
3,3 – 0,8 = …
3,3 + 2,8 = …
3,35 – 1,4 = …
3,35 – 1,45 = …
3,3 – 1,45 = …
 
werken met dichtbije getallen
3,3 + 0,9 = …
 
aanvullend optellen
10,25 – 9,75 = …







Vermenigvuldigen en delen
 
Natuurlijk getal x kommagetal
3 x 0,25 = …(zonder overschrijden E)
3 x 2,25 = …
3 x 2,75 = …(met overschrijden E)
10 x 1,5 = …
 
Kommagetal x kommagetal
0,2 x 0,3 = ..
0,2 x 0,8 = …
0,1 x 2,4 = …
0,2 x 3,6 = …
 
Kommagetal : natuurlijk getal
0,8 : 2 = …
4,8 : 2 = …
0,5 : 2 = …
 
3,6 : 4 = (analogie tafels)
24,12 : 4… (deeltal splitsen)
9,6 : 4 = …
 
Delen door 4, 5, een tienvoud
6 : 100 = …
1 : 5 = …
2 : 5 = …
6 : 30 = …
10 : 4 = …
 
Delen door een kommagetal
0,8 : 0,2 = …
3 : 0,5 = …
8 : 0,2 = …
3,2 : 0,1 = …
0,45 : 0,03 = …
  • Geef ‘kale’ oefeningen op cijferen met kommagetallen.
Optellen en aftrekken
 
1 x onthouden of lenen
24,65 + 13,28 = …
24,65 – 13,82 = …
24,65 – 13,8 = …
 
2 of meer keer onthouden of lenen
24,65 + 18,28 = …
24,65 – 18,73 = …
 
aftrektal aanvullen met een nul
10,45 – 3,764 = …
 
3 termen optellen
0,89 + 2,34 + 1,65 = …









Vermenigvuldigen en delen
 
Natuurlijk getal x kommagetal
3 x 123,37 = …
(1 x onthouden)
3 x 183,37 = …
(2 of meer keer onthouden)
6 x 37,25 = … 
(0 in product)
 
Kommagetal x kommagetal
3,26 x 1,7 = …
 
Kommagetal : natuurlijk getal
538,29 : 3 = …
(nauwkeurig quotiënt)

357,1 : 4 = …
(nauwkeurig quotiënt, aanvullen met nullen)

357,1 : 3 = …
(tot op 1 honderdste nauwkeurig)

358 : 7 = …
(tot op 1 honderdste nauwkeurig)
  • Geef oefeningen met gebruik van wiskundetaal bv. ‘zoek het product van 30 en 0,5’, ‘verminder 4,65 met 0,90’,…

In de toepassingen hieronder wordt de methode (hoofdrekenen, cijferen of schattend rekenen) niet expliciet benoemd in de opgave. Bedoeling is dat leerlingen zelf oordelen welke methode ze best gebruiken, de keuze kan onderdeel zijn van de nabespreking.

Toepassingen

Hoeveel moet ik betalen bij de bakker?

Pas de context eventueel aan: werk met een authentiek kasticket.

  • Bespreek: Wat heb ik gekocht? Wat vertellen de getallen op het ticket? Welke getallen hebben we nodig?
  • Bespreek of cijferen of hoofdrekenen hier het meest aangewezen is. De getallen zijn hier eenvoudig, bespreek op welke manier leerlingen de getallen samengenomen hebben om handig te rekenen.
  • Ga in op referentiepunten voor prijzen bij bakker (bv. de prijs van een brood).

Tijdens de pauze bestelt het gezin Proost:

  • 1 Hoegaarden
  • 1 witte wijn
  • 1 Spa plat
  • 1 Oxfam fruitsap appel
  • 1 cola zero
  • 1 zakje chips

Hoeveel krijgen ze terug op 20 euro?

Pas de context aan: werk met een kaart van een zaak in de buurt, of met de kaart die gebruikt wordt op het schoolfeest, eetfestijn,…

  • Bespreek het nut van dergelijke oefeningen uit het hoofd te kunnen uitrekenen: de persoon aan de kassa moet snel het te betalen bedrag kunnen zeggen.
  • Laat leerlingen vergelijken op welke manier ze de gegevens en tussenstappen noteerden.
  • Laat verwoorden op welke manier ze handig gerekend hebben, bv. eerst de gehele delen optellen, bv. handig samennemen.

Op deze digitale thermometer kan je de binnentemperatuur en de buitentemperatuur aflezen.

Vul aan.

Het is binnen ……… ° warmer/kouder dan buiten.

Bron afbeelding: https://www.hubo.nl/alecto-weerstation-ws-150
  • In het kader van referentiematen kan je deze binnentemperatuur laten vergelijken met de temperatuur in de klas. In welk seizoen kan deze buitentemperatuur voorkomen?
  • Bekijk de verschillende oplossingsmethodes. Zo kunnen leerlingen werken via de aftrekking (30 – 23,8 = 30 – 23 – 0,8) maar ook via de optelling (Ik tel eerst 0,2 op bij 23,8, en dan moet ik nog 6 optellen bij 24 om aan 30 te geraken, in totaal het ik dus 6,2 opgeteld.)

Om te weten hoeveel borstvoeding een baby gedronken heeft wordt de baby soms voor en na het drinken gewogen.

Baby Sem weegt voor het drinken 3,970 kg. Na het drinken weegt hij 4,045 kg.

Hoeveel gram melk heeft Sem gedronken?

  • Bespreek of leerlingen voor hoofdrekenen of voor cijferen gekozen hebben.
  • Bespreek op welke manier de leerlingen dit makkelijk kunnen uitrekenen. Het aanvullend optellen (0,030 bijvoegen tot 4 kg, en dan nog 0,045 kg) is hier handig.
  • Als de leerlingen ‘ml’ al kennen, dan kan je erbij zeggen dat we rekenen dat 1 liter melk 1 kg weegt, we mogen dus bij benadering zeggen dat de baby 75 ml heeft gedronken.
  • Gebruik referentiematen om deze hoeveelheid voor te stellen.

We kopen het spel ‘Kubb’ met korting.

Hoeveel korting krijgen we?

Pas de context eventueel aan: werk met een product dat herkenbaar is voor leerlingen uit een reclamefolder.

  • Ga in op de betekenis van het woord ‘korting’.
  • Ga in op de grootte van de korting: je krijgt hier ongeveer 10 euro korting op een totaalbedrag van ongeveer 40 euro – is dat veel?
  • Bespreek de verschillende oplossingsmethodes: hebben leerlingen gekozen voor cijferen of hoofdrekenen en waarom? Indien ze voor hoofdrekenen gekozen hebben, welke methode hebben ze gebruikt?
  • In het voorbeeld zijn er verschillende methodes:

> Cijferen: 36,95 – 27,30

> Hoofdrekenen 36,95 – 27,30 = 36,95 – 0,30 – 27

> Hoofdrekenen: 36,95 – 27,30 = (36 – 27) + (0,95 – 0,30)

> Hoofdrekenen: 36,95 – 27,30 = (37 – 27,30) – 0,05

> Hoofdrekenen via aanvullend optellen: 0,70 + 2 + 6,95

In Antwerpen wordt jaarlijks de loopwedstrijd ’10 miles’ georganiseerd.

Mile is een Engelse lengtemaat. 1 mile is 1609,344 m.

Hoe lang is deze wedstrijd? Rond af tot op 1 km.

Bron afbeelding: https://www.sport.be/antwerp10miles/nl/info/

  • Bespreek het afronden. (Eén mijl = 1,6 km; de wedstrijd is dus 16 km.)
  • Bespreek in functie van referentiematen. Verwijs naar de referentiemaat voor 1 km. Hoe lang zou je over het traject van 10 miles doen al wandelend? (gemiddelde wandelsnelheid 5 km/h) Hoe lang zou je over dit traject doen al fietsend? (bv. aan 15 km/h) Loopsnelheid is natuurlijk relatief, je zou met een gemiddelde van 10 km/h kunnen werken.
  • Bespreek welke wiskundige vaardigheden nodig zijn om deze opgave aan te pakken (1 km = 1000 m, vermenigvuldigen met 10, afronden).
  • Geef achtergrondinfo. Mijl wordt als lengtemaat nog gebruikt in o.a. de Verenigde Staten en Verenigd Koninkrijk (in plaats van km).

Je ziet hier twee soorten AAA-batterijen. Wat is het verschil in prijs per batterij?

Je mag met afgeronde getallen rekenen.

  • Laat leerlingen vertellen wat ze uit de gegevens kunnen afleiden, zodat duidelijk is dat de prijs voor de 4 batterijen samen is. Toon een AAA-batterij.
  • Bespreek de verschillende rekenwijzen – ga zeker in op de manier waarop leerlingen afgerond hebben.

> Het eenvoudigst is het eerste bedrag afronden naar 8 euro (2 euro per batterij) en het tweede bedrag naar 20 euro (5 euro per batterij).

> Misschien hebben leerlingen afgerond tot op een tiende. Voor de duurste soort geeft dit opnieuw 5 euro per batterij, voor de goedkoopste soort is dit 7,80 euro : 4 = 1,95 euro per batterij. Hier kan je ingaan op de berekeningswijze van 7,80 : 4 bv. (7 : 4) + (0,80 : 4) = 1,75 + 0,20 = 1,95 of (8 : 4) – (0,20 : 4) = 2 – 0,05 = 1,95

> Bespreek met de leerlingen dat de beide manieren van afronden hier hetzelfde besluit opleveren: de tweede soort is ongeveer 3 euro duurder per batterij.

  • Misschien hebben leerlingen nog anders gerekend: eerst het verschil tussen de volledige verpakkingen (12,20 euro), en dit dan delen door 4. Dit geeft een exact prijsverschil.
  • Ga in op het prijsverschil: de tweede soort zijn herlaadbare batterijen, die kan je veel langer gebruiken, het is dus normaal dat ze meer kosten – eigenlijk zijn ze goedkoper als je kijkt hoe vaak je ze kan gebruiken.

Hoeveel betaal ik ongeveer voor de jonge kaas?

Tip: werk met een eigen kasticket of met een foto van een bedieningstoog waar de prijs per kg vermeld staat.

  • Bekijk met de leerlingen het kassaticket: wat betekenen de getallen die erop staan? (ter info: PLU is een code voor groente en fruit die bedoeld is voor de administratie in de winkel, dit is hier niet relevant.)
  • Bespreek welke bewerking we zouden maken als we exact rekenen.
  • Bespreek de verschillende oplossingsmethodes en schattingen, motiveer leerlingen om met ronde getallen te werken.

bv. 336 g kaas is ongeveer 1/3 kg kaas — 14,75 euro is ongeveer 15 euro — 1/3 van 15 euro is 5 euro.

bv. 0,336 rond ik af naar 0,3 — 14,75 rond ik af naar 15 — 0,3 x 15 = (3 x 15) : 10 = 4,5

  • Laat vluggerds op dezelfde manier de prijs voor de manchegokaas checken (bv. het ging om ongeveer ¼ kg kaas tegen ongeveer 28 euro per kg, dus ongeveer 7 euro voor dit stuk kaas).
  • Laat leerlingen benoemen welke wiskundige vaardigheden ze nodig hadden om deze opgave aan te pakken: de prijzen op een ticket begrijpen, werken met gram en kg, kommagetallen afronden, tafels, hoofdrekenen, verband kommagetallen en breuken.
  • Ga in op het nut van schatten bij het controleren van een rekening: je krijgt snel een beeld of de prijs kan kloppen.

Een jaarabonnement op een krant kost 480 euro. Als je deze krant dagelijks in de winkel koopt kost dat 2,70 euro per stuk.

Hoeveel bespaar je uit door een jaarabonnement te nemen in de plaats van elke dag deze krant te kopen?

Je mag rekenen met 300 kranten per jaar.

Tip: pas de context aan op basis van een krant die jij of een leerling meebrengt. De prijs van de krant staat hierop vermeld, de prijs van een abonnement vind je op de website. Je kan ook met een magazine werken.

  • Laat leerlingen de verschillende rekenwijzen voor de 300 exemplaren vergelijken. bv. 300 x 2,70 = (300 x 2) + (300 x 0,70) = 600 + 210 = 810 of bv. 300 x 2,7 = 30 x 27 = (30 x 30) – (30 x 3) = 900 – 90 = 810
  • Besteed aandacht aan de notatie van de tussenstappen.
  • Laat sterke rekenaars uitzoeken hoe je aan ongeveer 300 kranten per jaar komt (geen krant op zondag, en geen krant op feestdagen, dus die dagen moet je aftrekken van 365).
  • Bespreek eventueel waarom een jaarabonnement niet noodzakelijk een besparing is (misschien koop je niet dagelijks de krant, als je een abonnement hebt kan je hierin niet meer kiezen).

Ik tank benzine voor de wagen.

Kun je voorspellen welk getal onder de vlek zit? Je mag ongeveer rekenen.

  • Laat leerlingen verwoorden wat op de afbeelding terug te vinden is en wat het verband tussen deze zaken is.
  • Vergelijk de schattingen die leerlingen maakten. Een mogelijkheid is om de prijs per liter af te ronden op 1,8 euro per liter, en het aantal liter op 25 l. De berekening wordt dan 25 x 1,8 = (100 x 1,8) : 4 = 180 : 4 = 45.
  • Laat ook de gebruikte hoofdrekentechniek verwoorden.
  • De afbeelding zonder vlek vind je hieronder:

Op de maan weeg je veel minder dan op de aarde. Om te weten hoeveel iets op de maan weegt vermenigvuldig je het gewicht op aarde met 0,164. Dit maanwagentje weegt op aarde 210 kg.

Hoeveel weegt het op de maan?

Bron afbeelding: https://www.hq.nasa.gov/office/pao/History/alsj/a15/AS15-88-11901HR.jpg
  • Tip: in de plaats van het werken met het maanwagentje kan je ook het gewicht van een gemiddelde leerling van deze leeftijd of het gewicht van een leerkracht op de maan laten berekenen.
  • Bespreek met de leerlingen of ze voor hoofdrekenen, cijferen of schattend rekenen kiezen.
  • Bespreek de afronding van het product – is het zinvol dit op minder dan 1 kg nauwkeurig te weten?
  • Ter info: het gewicht op de maan is kleiner omdat de aantrekkingskracht van de maan op objecten kleiner is dan de aantrekkingskracht van de aarde. Dit is zo omdat de maan zelf minder weegt dan de aarde.
  • Ter info: de maanwagens zijn gemaakt voor onderzoek van de maan, op die manier kunnen ook stukken van de maan verder dan de landingsplaats onderzocht worden.

Een suikerklontje is 4 gram suiker. Hoeveel suikerklontjes zitten in 1 liter cola?

  • Besteed aandacht aan stapsgewijze oplossingsmethode:

> 1l = 1000 ml, dus 1 l bevat 106 gram suiker

> 106 : 4 = (100 : 4) + (6 : 4) = 25 + 1,5 = 26,5 (hierop kan je eventueel de afrondingsregel laten toepassen.

  • Daag leerlingen uit hun oplossingsmethode netjes te noteren, zodat anderen duidelijk zien welke tussenstappen ze genomen hebben.
  • Laat leerlingen verwoorden welke wiskundige kennis en vaardigheden ze nodig hadden voor deze opgave (verband ml en l, handig hoofdrekenen, aflezen tabel).
  • Tip: laat leerlingen op basis van voedingswaardetabel op de verpakking ook berekenen hoeveel suikerklontjes er zitten in hun favoriete soort koeken, of bv. in één brikje of blikje frisdrank.
  • Sta stil bij de info uit de voedingswaardetabel.

Onder elke vlek zit een cijfer. Welke cijfers kunnen dit zijn?

Zijn er verschillende mogelijkheden?

  • Oplossing: Er zijn twee mogelijkheden:

4,0 – 2,8 = 1,2

4,1 – 2,9 = 1,2

  • Besteed aandacht aan hoe leerlingen weten dat ze alle mogelijkheden gevonden hebben. Misschien zie je op het zicht welke oefeningen dit kunnen zijn, maar ben je zeker dat dit de enige oplossingen zijn? Een mogelijkheid is om systematisch alle mogelijke cijfers die onder de eerste vlek kunnen zitten af te gaan: 0 en 1 zijn mogelijk, maar vanaf 2 (4,2 – 2,. = 1,2) kan de oefening niet meer kloppen.
  • Besteed aandacht aan de gebruikte heuristieken. We hebben hier verschillende mogelijkheden uitgeprobeerd, op die manier hebben we gezien wat kon en wat niet kon. We zijn niet gestopt bij één mogelijkheid

Oei, op de rekenmachine werken de toetsen 1, 4, 5, 7 en 8 niet meer.

Hoe kan je het getal 8,45 op het scherm krijgen?

Tip: de bewerkingstoetsen werken wel!

  • Er zijn verschillende oplossingen bv.

6 + 2 + 0,2 + 0,2 + 0,02 + 0,03

9 – 0,33 – 0,22